exo uzuawa

Bonjour
La solution   $u\in K$ vérifie la condition d'optimalité:  $<\nabla J(u),v-u>\geq 0, \forall v \in  K$  
 
Posons $F=\R^p\times \R_{-}^m$    et  $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2$)  [avec  $\lambda_2\leq 0$]
Montrons que 1.b  implique u\in K.  
D'abord il faut comprendre que $P_F(\lambda)=P_F(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_1,\beta) $
où  les composantes  $(\beta_k)$  de $\beta $  sont égales aux composantes correspondantes de $(\lambda_2)_k$ si $ (\lambda_2)_k \leq 0$  où égale à 0 sinon.
Ainsi $\lambda=P_F(\lambda+ \rho( Cu -f))=P_F(\lambda_1+ \rho( C_Eu -f_E)), \lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))$    implique que  
$C_Eu =f_E$  et selon les composantes de $(\lambda_2)_k$:  
si $(\lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))_k < 0$ implique  $(C_Eu)_k =(f_E)_k$ et $(\lambda_2)_k < 0$    
sinon $\lambda_2=0$  et $( C_Iu -f_I))_k\leq 0$ .
Donc dans tous les cas conduisent donc $C_I u f_I \leq 0.$
On  donc bien $u\in K.$    
 Maintenant  
$\nabla J (u)= Au-b $  alors  1.a  implique pour tout $v\in K$
$ (\nabla J(u),v-u )=(Au-b,v-u )= ( C^t \lambda, v-u )= ( \lambda, C(v-u) )$

Mais $(\lambda, C(v-u))=(\lambda_1, C_E(v-u))+(\lambda_2, C_I(v-u))$  
En tenant compte de la partie précédente cela se simplifie en
$(\lambda, C(v-u))=(\lambda_2, C_F(v-u))$  et encore il ne reste que les termes où
$(\lambda_2)_k <0 $ +  précisément dans la somme ceux sont des termes de la forme
$(\lambda_2)_k\times  (C_i v - f_I)_k$  et qui sont positifs (car $v\in K$)
En conclusion on a $(\nabla J(u),v-u)\geq 0 $
ce qui montre que u vérifiant 1.a et 1.b est la solution du problème

Bonjour
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