Dualié $l^1 l^{\infty}$

Bonjour

https://i.postimg.cc/d1Qp0QkM/l1.jpg

2. a Par définition de $f\in c_0^*$  on a  $|f(x)|\leq ||f|| ||x||_{\infty}.$

Posons $(u_n)=\sum_{k=1} ^n \epsilon_k  e(k)=(\epsilon_1,...,\epsilon_n,0,...0,0,0,0...)$ avec $\epsilon_k=1$ si $y_k\geq 0,$  et  $\epsilon_k=-1$  sinon.  Clairement  $(u_n)\in c_0$  et  $||(u_n)||_{\infty}=1.$  

De plus $|f((u_n))|=|\sum_{k=1} ^n  f(\epsilon_k e(k))|=|\sum_{k=1} ^n  |y_k|| =\sum_{k=1} ^n  |y_k| \leq ||f||\times  ||(u_n)||\leq ||f||. $

On fait tendre n vers l'infini, on obtient que $y\in l^1.$