Enigmes-Défis

Dans ce cahier on rappelle la définition de cercle osculateur d'une courbe et on calcule le(s) rayon(s) de courbure de la courbe d'équation \(y=x^2\).

Niveau Bac+1.

Soit $a,b,c\geq 0$ vérifiant $a^3+b^3+c^3=3$   Démontrer que $$\dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{b^3}{b+c}+\dfrac{c^3}{c+a}\geq \dfrac{3}{2}.$$

Soit $a,b,c\geq 0$ vérifiant $a^3+b^3+c^3=3$   Démontrer que $$a^4+b^4+c^4+a+b+c \leq 12.$$

Montrer que  
$$I=\int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{\cosh(x)^2}dx=\ln(\dfrac{\pi}{4})-\gamma$$

où $\gamma\approx 0.577216$ est la constante d'Euler